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평면의 방정식은 아래와 같습니다. ax + by + cz + d = 0 면의 방정식과 두 점을 아는 상태에서 평면과 만나는 두 점 사이의 점을 구하여 보겠습니다. 비율 r을 P – P0 / P1 – P0으로 정의하겠습니다. 비율 r을 구하기 위하여 분모 및 분자에 평면에 수직한 법선 벡터 n을 내적하면 비율 r은 아래와 같습니다. 참고로 벡터 n은 평면을 방정식을 응용하면 (a, b, c)가 됩니다. r = P·벡터 n – P0 ·벡터 n / P1 ·벡터 n – P0 ·벡터 n 여기서 P는 평면과 교차함으로 평면내에 포함되어 있어 P·벡터 n은 평면의 방정식에 의하여 –d가 됩니다. r과 관련된 수식에서 P의 값 만을 알 수 없었으므로 P·벡터 n을 –d값으로 치환하여 r을 구합니다. P는 P0 + r ..

평면의 방정식은 아래와 같습니다. ax + by + cz + d = 0 평면이 세 점 P0, P1, P2를 그림과 같이 포함한다고 하겠습니다. 해당 세 점을 바탕으로 벡터 V1 = P1 – P0과 벡터 V2 = P2 – P0을 정의할 수 있습니다. 그리고 벡터 V1과 벡터 V2의 외적를 구한 후 정규화하여 벡터 V를 구할 수 있습니다. 이 때 벡터 V의 x, y, z은 평면의 방정식의 a, b, c가 됩니다. 구한 벡터 V에 P0을 내적하면 평면의 방정식에 의하여 0이 되어야 함으로 이를 바탕으로 아래와 같이 d를 구할 수 있습니다. 벡터 V·P0 + d = 0 d = - (벡터V·P0) 마지막으로 위에서 구한 a, b, c, d를 대입하여 평면을 방정식을 구하면 됩니다.

빌보드는 항상 카메라를 바라보는 평면이라고 정의할 수 있다. 응용의 한 예를 살펴본다면 3D에서 멀리 있는 객체와 같은 경우 메쉬가 아닌 카메라를 바라보는 평면에 텍스처로 구현 할 수 있다. 이렇게 하면 직접 메쉬를 그리는 것에 비하여 그래픽 처리량이 줄어든다. IT EXPERT 3D 게임프로그래밍 같은 경우 Y축 행렬 부분만 역변환하여 구현하는 빌보드가 나와 있다. 위의 예제는 개인적으로 작성하는 프로그램에서 응용하기에는 적합하지 않아 아래와 같은 방법으로 구현하였다. 카메라와 객체 간의 각도를 구한다. (두 점 사이의 각도를 구하는 방법) 둘 사이의 각도를 역으로 객체에 회전시켜 객체가 카메라를 보이게 하였다. 객체를 역으로 회전시키는 이유를 간단히 설명하면 아래와 같다.

두 점 사이의 라디언 각도는 아크탄젠트라는 수학 함수를 통하여 구할 수 있다. 프로그래밍 함수로는 atan2(y의 차이, x의 차이)로 구할 수 있다. 아크탄젠트는 개념적으로 아래와 같이 라디언 각도를 구한다. 라디언 각도 Θ = atan(Ry / Rx) 프로그램밍 적으로는 atan2(y2-y1, x2-x1)으로 구할 수 있다. 인자를 보면 점2 – 점1으로 Rx와 Ry를 구하는 것을 알 수 있다.